Енергія взаємодії зарядів. Енергія електричного поля. Щільність енергії. Енергія взаємодії електричних зарядів Потенційна енергія взаємодії точкових зарядів
1) Електростатичні сили взаємодії консервативні, отже, система зарядів має потенційну енергію.
Знайдемо потенційну енергію системи двох нерухомих точкових зарядів Q 1 та Q 2 , що знаходяться на відстані rодин від одного. Кожен із цих зарядів у полі іншого має потенційною енергією:
де j 12 і j 21 - відповідно потенціали, створювані зарядом Q 2 у точці знаходження заряду Q 1 та зарядом Q 1 у точці знаходження заряду Q 2 .
(33)
тому W 1 = W 2 = Wі
Додаючи до системи з двох зарядів послідовно заряди Q 3 , Q 4 , ... , можна переконатися в тому, що у випадку nнерухомих зарядів енергія взаємодії системи точкових зарядів дорівнює
(35)
де j i -потенціал, створюваний у тій точці, де знаходиться заряд Q i ,усіма зарядами, крім i-го.
2) Нехай є відокремлений провідник, заряд, ємність та потенціал якого відповідно дорівнюють: Q, С, j.Збільшимо заряд цього провідника на d Q.Для цього необхідно перенести заряд d Qз нескінченності на відокремлений провідник, витративши на це роботу, рівну
Щоб зарядити тіло від нульового потенціалу до j,необхідно здійснити роботу
(37)
Енергія зарядженого провідника дорівнює тій роботі, яку необхідно здійснити, щоб зарядити цей провідник:
Потенціал провідника у всіх його точках однаковий, оскільки поверхня провідника є еквіпотенційною. Вважаючи потенціал провідника рівним j,знайдемо:
(39)
де – заряд провідника.
26. Енергія зарядженого конденсатора. Як будь-який заряджений провідник, конденсатор має енергію, яка відповідно до формули (95.3) дорівнює
де Q -заряд конденсатора, З -його ємність, Dj- Різниця потенціалів між обкладинками конденсатора.
27. Об'ємна щільність енергії електростатичного поля.Перетворимо формулу (40), що виражає енергію плоского конденсатора за допомогою зарядів і потенціалів і скориставшись виразом для ємності плоского конденсатора ( C=e 0 eS/d) та різниці потенціалів між його обкладками (D j=Ed), отримаємо:
(41)
де V = Sd -об'єм конденсатора. Формула (41) показує, що енергія конденсатора виражається через величину, що характеризує електростатичне поле - напруженість Е.
Об'ємна щільністьенергії електростатичного поля (енергія одиниці об'єму)
(42)
Формули (40) та (42) відповідно пов'язують енергію конденсатора із зарядомна його обкладинках та із напруженістю поля.
· сила струму I (служить кількісною мірою електричного струму) - скалярна фізична величина, що визначається електричним зарядом, що проходить через поперечний переріз провідника в одиницю часу:
· щільність струму - фізична величина, яка визначається силою струму, що проходить через одиницю площі поперечного перерізу провідника, перпендикулярного напрямку струму
- вектор, орієнтований за напрямом струму (тобто напрям вектора jзбігається із напрямом упорядкованого руху позитивних зарядів.
Одиниця щільності струму – ампер на метр у квадраті (А/м 2 ).
Сила струму крізь довільну поверхню Sвизначається як потік вектора j, тобто.
· Вираз для щільності струму через середню швидкість носіїв струму та їх концентрацію
За час dt через майданчик dS пройдуть заряди, що віддаляються від неї не далі, ніж на vdt (вираз для відстані між зарядами та майданчиком через швидкість)
Заряд dq, що пройшов за dt через dS
де q 0 – заряд одного носія; n - число зарядів в одиниці обсягу (тобто їх
концентрація): dS · v · dt - об'єм.
звідси, вираз для щільності струму через середню швидкість носіїв струму та їх концентрацію має такий вигляд:
· постійний струм - Струм, сила і напрямок якого не змінюються з часу.
Де q - електричний заряд, що проходить за час tчерез поперечний переріз провідника. Єднала сили струму – ампер (А).
· сторонні сили та ЕРС джерела струму
сторонні сили -сили неелектростатичного походження,які діють заряди із боку джерел струму.
Сторонні сили виконують роботу з переміщення електричних зарядів.
Ці сили мають електромагнітну природу: 
та їх робота з перенесення пробного заряду q пропорційна q:
· Фізична величина, яка визначається роботою, що здійснюється сторонніми силами при переміщенні одиничного позитивного заряду, називаєтьсяелектрорушійною силою (е.д.с.),що діє в ланцюзі:
де е називають електрорушійною силою джерела струму. Знак «+» відповідає випадку, коли під час руху джерело проходить у напрямку дії сторонніх сил (від негативної обкладки до позитивної), «-» - протилежному випадку
· Закон Ома для ділянки ланцюга
· Електричний опір
R – опір провідника.
Одиниця опору - Ом.
Для однорідного провідника завдовжки lта перетином S:
ρ - питомий опір
· Закон Ома для замкнутого ланцюга
Якщо електричний ланцюг замкнута,то вибрані точки 1 і 2 збігаються, j 1 =j 2; тоді отримуємо закон Ома для замкнутого ланцюга:
· Закон Ома в локальній формі
Закон Ома для елементарного обсягу провідника.
Позначимо величину, обернену щільності, де - питома провідність.
Отримаємо закон Ома у диференційній формі
· Питомий опір (див. пункт 31)
Закон Джоуля - Ленца у диференційній формі
Малюнок 6
Кількість тепла, що виділяється в елементарному обсязі з опором R при проходженні струму I протягом dt:
- Закон Джоуля – Ленца.
Знайдемо щільність потужності:
Кількість теплоти, що виділяється за одиницю часу в одиниці об'єму, називається питомою тепловою потужністю струму.
Вона дорівнює
Закон Джоуля – Ленца у диференційній формі.
Сила, що діє електричний заряд ,
що рухається в магнітному полі зі швидкістю, називається силою Лоренцаі виражається формулою
 |
Обертальний момент сил, можна визначити в.о.:
Обертальний момент сил залежить як від властивостей поля в даній точці, так і від властивостей рамки і визначається формулою
де - Вектор магнітного моменту рамкизі струмом ( - вектор магнітної індукції,кількісна характеристика магнітного поля). Для плоского контуру зі струмом I
де S -площа поверхні контуру (рамки) ,
n- Поодинокий вектор нормалі до поверхні рамки.
Магнітна індукція в даній точці однорідного магнітного поля визначається максимальним моментом, що обертає, що діє на рамку з магнітним моментом, рівним одиниці, коли нормаль до рамки перпендикулярна напрямку поля.
[B] - Тл (Тесла).
Магнітне поле є силовим, отже, його можна зображати, за допомогою ліній магнітної індукції - ліній, що стосуються яких у кожній точці збігаються з напрямком вектора.
Властивості ліній магнітної індукції:
замкнуті, т.к. у природі немає магнітних зарядів;
вектор направлений по дотичній до лінії магнітної індукції;
густота ліній магнітної індукції пропорційна модулю вектора.
Рух заряджених частинок у магнітному полі
Вираз для сили Лоренца дозволяє знайти низку закономірностей руху заряджених частинок у магнітному полі. Напрямок сили Лоренца і напрямок відхилення зарядженої частинки в магнітному полі, що викликається нею, залежать від знака заряду частинки. На цьому ґрунтується визначення знака заряду частинок, що рухаються в магнітних полях.
Для виведення загальних закономірностей вважатимемо, що магнітне поле одноріднота на частинки електричні поля не діють. Якщо заряджена частка рухається в магнітному полі зі швидкістю vвздовж ліній магнітної індукції, то кут aміж векторами vі Удорівнює 0 або p . Тоді за формулою (32) сила Лоренца дорівнює нулю, тобто магнітне поле на частинку не діє і вона рухається рівномірно та прямолінійно.
Вектор швидкості паралельний вектору магнітної індукції (рис.9)
Малюнок 9
Частка рухається рівномірно та прямолінійно, вздовж магнітного поля.
Якщо заряджена частка рухається в магнітному полі зі швидкістю v, перпендикулярної вектору У, то сила Лоренца постійна за модулем і нормальна до траєкторії частки. Згідно з другим законом Ньютона, ця сила створює доцентрове прискорення. Звідси випливає, що частка рухатиметься по колу (рис.2).
Малюнок 2
Лінії індукції спрямовані за креслення, = const. Прискорення
Нормальне прискорення.
Частка рухається по колу такого радіусу:
Час одного повного обороту:
тобто. період обертання часткив однорідному магнітному полі визначається тільки величиною, зворотною питомим зарядом ( q/m) частинки, та магнітною індукцією поля, але не залежить від її швидкості(при v<
Якщо швидкість vзарядженої частки спрямована під кутом aдо вектору У(Рис. 1), то її рух можна представити у вигляді суперпозиції: 1) рівномірного прямолінійного руху вздовж поля зі швидкістю v || =v cos a; 2) рівномірного руху зі швидкістю v ^ =v sin aпо колу у площині, перпендикулярній полю.
площині, перпендикулярній до поля.
Радіус кола визначається формулою (34) (у разі треба замінити vна v ^ =v sin a). В результаті складання обох рухів виникає рух по спіралі, вісь якої паралельна магнітному полю (рис. 1). Крок гвинтової лінії
Підставивши останній вираз (35), отримаємо
Напрямок, у якому закручується спіраль, залежить від знака заряду частки.
Якщо швидкість зарядженої частки складає кут aз напрямком вектора У неоднорідногомагнітного поля, індукція якого зростає у напрямку руху частинки, то rі hзменшуються зі зростанням В. На цьому ґрунтується фокусування заряджених частинок у магнітному полі.
У межах електростатики неможливо дати відповідь на питання, де зосереджено енергію конденсатора. Поля та заряди, що їх утворили, не можуть існувати окремо. Їх не поділити. Однак змінні поля можуть існувати незалежно від зарядів, що збуджували їх (випромінювання сонця, радіохвилі, …), і вони переносять енергію. Ці факти змушують визнати, що носієм енергії є електростатичне поле .
При переміщенні електричних зарядів сили кулонівської взаємодії виконують певну роботу d А. Робота, здійснена системою, визначається зменшенням енергії взаємодії -d Wзарядів
| . | (5.5.1) |
Енергія взаємодії двох точкових зарядів q 1 та q 2 , що знаходяться на відстані r 12 , чисельно дорівнює роботі з переміщення заряду q 1 у полі нерухомого заряду q 2 з точки з потенціалом в точку з потенціалом:
| . | (5.5.2) |
Зручно записати енергію взаємодії двох зарядів у симетричній формі
 .
|
(5.5.3) |
Для системи з nточкових зарядів (рис. 5.14) через принцип суперпозиції для потенціалу, в точці знаходження k-го заряду, можна записати:
Тут φ k , i- потенціал i-го заряду в точці розташування k-го заряду. У сумі виключено потенціал φ k , k, тобто. не враховується вплив заряду себе, рівне для точкового заряду нескінченності.
Тоді взаємна енергія системи nзарядів дорівнює:
 |
(5.5.4) |
Ця формула справедлива лише у разі, якщо відстань між зарядами помітно перевищує розміри самих зарядів.
Розрахуємо енергію зарядженого конденсатора. Конденсатор і двох, спочатку незаряджених, пластин. Поступово відніматимемо у нижньої пластини заряд d qта переносити його на верхню пластину (рис. 5.15).
У результаті між пластинами виникне різниця потенціалів. При переносі кожної порції заряду відбувається елементарна робота
Скориставшись визначенням ємності, отримуємо
Загальна робота, витрачена збільшення заряду пластин конденсатора від 0 до q, дорівнює:
Цю енергію можна також записати у вигляді
Принцип суперпозиції.
Якщо за допомогою пробного заряду досліджується електричне поле, яке створюється кількома зарядженими тілами, то результуюча сила виявляється рівною геометричній сумі сил, що діють на пробний заряд з боку кожного зарядженого тіла окремо. Отже, напруженість електричного поля, створюваного системою зарядів у цій точці простору, дорівнює векторній сумі напруженостей електричних полів, створюваних у тій точці зарядами окремо:
Ця властивість електричного поля означає, що поле підпорядковується принципом суперпозиції. Відповідно до закону Кулона, напруженість електростатичного поля, створюваного точковим зарядом Q на відстані r від нього, дорівнює модулю:
Це поле називається кулонівським. У кулонівському полі напрям вектора напруженості залежить від знака заряду Q: якщо Q більше 0, то вектор напруженості спрямований від заряду, якщо Q менше 0 то вектор напруженості спрямований до заряду. Величина напруженості залежить від величини заряду, середовища, в якому знаходиться заряд, і зменшується зі збільшенням відстані.
Напруженість електричного поля, що створює заряджена площина поблизу своєї поверхні:
Отже, якщо завдання вимагає визначити напруженість поля системи зарядів, треба діяти за наступним алгоритмом:
1. Намалювати малюнок.
2. Зобразити напруженість поля кожного заряду окремо у потрібній точці. Пам'ятайте, що напруженість спрямована до негативного заряду та позитивного заряду.
3. Обчислити кожну із напруженостей за відповідною формулою.
4. Скласти вектор напруженостей геометрично (тобто векторно).
Потенційна енергія взаємодії набоїв.
Електричні заряди взаємодіють один з одним та з електричним полем. Будь-яка взаємодія визначає потенційну енергію. Потенційна енергія взаємодії двох точкових електричних зарядіврозраховується за формулою:
Зверніть увагу на відсутність модулів зарядів. Для різноїменних зарядів енергія взаємодії має негативне значення. Така сама формула справедлива й у енергії взаємодії рівномірно заряджених сфер і куль. Як завжди, у цьому випадку відстань r вимірюється між центрами куль або сфер. Якщо зарядів не два, а більше, то енергію їх взаємодії слід вважати так: розбити систему зарядів на всі можливі пари, розрахувати енергію взаємодії кожної пари і підсумувати всі енергії для всіх пар.
Завдання на цю тему вирішуються, як і завдання закон збереження механічної енергії: спочатку перебуває початкова енергія взаємодії, потім кінцева. Якщо задачі просять знайти роботу з переміщенню зарядів, вона дорівнюватиме різниці між початкової і кінцевої сумарної енергією взаємодії зарядів. Енергія взаємодії так само може переходити в кінетичну енергію або інші види енергії. Якщо тіла знаходяться на дуже великій відстані, то енергія їхньої взаємодії належить рівною 0.
Зверніть увагу: якщо в задачі потрібно знайти мінімальну або максимальну відстань між тілами (частинками) під час руху, то ця умова виконається в той момент часу, коли частки рухаються в один бік з однаковою швидкістю. Тому рішення треба починати із запису закону збереження імпульсу, з якого і знаходиться ця однакова швидкість. А далі слід писати закон збереження енергії з урахуванням кінетичної енергії частинок у другому випадку.
Нехай два точкові заряди q 1 і q 2 знаходяться у вакуумі на відстані r один від одного. Можна показати, що потенційна енергія їхньої взаємодії дається формулою:
W = kq 1 q 2 /r (3)
Ми приймаємо формулу (3) без підтвердження. Дві особливості цієї формули слід обговорити.
По-перше, де знаходиться нульовий рівень потенційної енергії? Адже потенційна енергія, як видно з формули (3), нанівець звернутися не може. Але насправді нульовий рівень існує, і він знаходиться на нескінченності. Інакше кажучи, коли заряди розташовані нескінченно далеко друг від друга, потенційна енергія їх взаємодії належить рівної нулю (що логічно - у разі заряди вже «не взаємодіють»). По-друге, q 1 і q 2 - це знову величини алгебри зарядів, тобто. заряди з урахуванням їхнього знака.
Наприклад, потенційна енергія взаємодії двох однойменних зарядів буде позитивною. Чому? Якщо ми відпустимо їх, вони почнуть розганятися і віддалятися один від одного.
Їхня кінетична енергія зростає, отже потенційна енергія - зменшується. Але на нескінченності потенційна енергія перетворюється на нуль, а раз вона зменшується до нуля, значить - вона є позитивною.
А ось потенційна енергія взаємодії різноіменних набоїв виявляється негативною. Дійсно, давайте видалимо їх на дуже велику відстань один від одного – так що потенційна енергія дорівнює нулю – і відпустимо. Заряди почнуть розганятися, наближаючись, і потенційна енергія знову зменшується. Але якщо вона була нулем, то куди їй спадати? Тільки у бік негативних значень.
Формула (3) допомагає також обчислити потенційну енергію системи зарядів, якщо число зарядів більше двох. Для цього необхідно підсумувати енергії кожної пари зарядів. Ми не виписуватимемо загальну формулу; краще проілюструємо сказане простим прикладом, зображеним на рис. 8
Мал. 8.
Якщо заряди q 1 , q 2 , q 3 знаходяться у вершинах трикутника зі сторонами a, b, c, то потенційна енергія їхньої взаємодії дорівнює:
W = kq 1 q 2 /a + kq 2 q 3 /b + kq 1 q 3 /c
Потенціал
З формули W = - qEx бачимо, що потенційна енергія заряду q в однорідному полі прямо пропорційна цьому заряду. Це ж бачимо з формули W = kq 1 q 2 /r потенційна енергія заряду q 1 , що у полі точкового заряду q 2 , прямо пропорційна величині заряду q 1 . Виявляється, це загальний факт: потенційна енергія W заряду q у будь-якому електростатичному полі прямо пропорційна величині q:
Величина ц не залежить від заряду, є характеристикою поля і називається потенціалом:
Так, потенціал однорідного поля E у точці з абсцисою x дорівнює:
Нагадаємо, що вісь X збігається з лінією напруженості поля. Ми бачимо, що зі зростанням x потенціал зменшується. Іншими словами, вектор напруженості поля вказує напрямок зменшення потенціалу. Для потенціалу поля точкового заряду q з відривом r від нього маємо:
Одиницею вимірювання потенціалу є добре відомий вам вольт. З формули (5) бачимо, що У = Дж / Кл.
Отже, тепер у нас є дві характеристики поля: силова (напруженість) та енергетична (потенціал). Кожна з них має свої переваги і недоліки. Яку характеристику зручніше використовувати - залежить від конкретного завдання.
